Theorem fach Fermat

Yn y cyhoeddiad hwn, byddwn yn ystyried un o'r prif ddamcaniaethau mewn theori cyfanrifau -  Theorem fach Fermata enwyd ar ôl y mathemategydd Ffrengig Pierre de Fermat. Byddwn hefyd yn dadansoddi enghraifft o ddatrys y broblem i atgyfnerthu'r deunydd a gyflwynwyd.

Datganiad o'r theorem

1. Cychwynnol

If p yn rhif cysefin a yn gyfanrif nad yw'n rhanadwy gan pYna, a^p-1 - 1 wedi'i rannu â p.

Mae wedi'i ysgrifennu'n ffurfiol fel hyn: a^p-1 ≡ 1 (yn erbyn p).

Nodyn: Mae rhif cysefin yn rhif naturiol y gellir ei rannu â XNUMX yn unig a'i hun heb weddill.

Er enghraifft:

• a = 2
• p = 5
• a^p-1 - 1 = 2^{5 - 1} - 1 = 2⁴ – 1 = 16 – 1 = 15
• nifer 15 wedi'i rannu â 5 heb weddill.

2. Amgen

If p yn rhif cysefin, a unrhyw gyfanrif, felly a^p tebyg i a modiwl p.

a^p ≡ a (yn erbyn p)

Hanes dod o hyd i dystiolaeth

Lluniodd Pierre de Fermat y theorem ym 1640, ond ni phrofodd hynny ei hun. Yn ddiweddarach, gwnaed hyn gan Gottfried Wilhelm Leibniz, athronydd Almaeneg, rhesymegydd, mathemategydd, ac ati. Credir ei fod eisoes wedi cael y prawf erbyn 1683, er na chafodd ei gyhoeddi erioed. Mae'n werth nodi bod Leibniz wedi darganfod y theorem ei hun, heb wybod ei fod eisoes wedi'i lunio'n gynharach.

Cyhoeddwyd y prawf cyntaf o'r theorem yn 1736, ac mae'n perthyn i'r Swistir, Almaeneg a mathemategydd a mecanydd, Leonhard Euler. Mae Theorem Fach Fermat yn achos arbennig o theorem Euler.

Enghraifft o broblem

Darganfyddwch weddill rhif 2¹² on 12.

Ateb

Gadewch i ni ddychmygu rhif 2¹² as 2⋅2¹¹.

11 yn rhif cysefin, felly, yn ôl theorem fach Fermat a gawn:

2¹¹ ≡ 2 (yn erbyn 11).

Felly, 2⋅2¹¹ ≡ 4 (yn erbyn 11).

Felly y rhif 2¹² wedi'i rannu â 12 gyda gweddill cyfartal i 4.