Yn y cyhoeddiad hwn, byddwn yn ystyried un o theoremau clasurol geometreg affin - theorem Ceva, a dderbyniodd enw o'r fath er anrhydedd i'r peiriannydd Eidalaidd Giovanni Ceva. Byddwn hefyd yn dadansoddi enghraifft o ddatrys y broblem er mwyn atgyfnerthu'r deunydd a gyflwynir.
Datganiad o'r theorem
Triongl a roddwyd ABC, lle mae pob fertig wedi'i gysylltu â phwynt ar yr ochr arall.
Felly, rydyn ni'n cael tair rhan (AA', BB' и CC'), y rhai a elwir cefiaid.
Mae'r segmentau hyn yn croestorri ar un adeg os a dim ond os yw'r cydraddoldeb canlynol yn dal:
|A '| |NID'| |CB'| = |CC'| |SHIFT'| |AB'|
Gellir cyflwyno'r theorem yn y ffurf hon hefyd (fe'i pennir ym mha gymhareb y mae'r pwyntiau'n rhannu'r ochrau):
Theorem trigonometrig Ceva
Sylwch: mae pob cornel wedi'i gyfeirio.
Enghraifft o broblem
Triongl a roddwyd ABC gyda dotiau I', B' и VS' ar yr ochrau BC, AC и AB, yn y drefn honno. Mae fertigau'r triongl wedi'u cysylltu â'r pwyntiau a roddir, ac mae'r segmentau ffurfiedig yn mynd trwy un pwynt. Ar yr un pryd, y pwyntiau I' и B' a gymerir ar ganol yr ochrau cyferbyniol cyfatebol. Darganfyddwch ym mha gymhareb y pwynt VS' yn rhannu'r ochr AB.
Ateb
Gadewch i ni dynnu llun yn unol ag amodau'r broblem. Er hwylustod i ni, rydym yn mabwysiadu'r nodiant canlynol:
- AB' = B'C = a
- BA' = A'C = b
Dim ond i gyfansoddi cymhareb y segmentau yn ôl theorem Ceva y mae'n weddill a rhoi'r nodiant a dderbynnir yn ei le:
Ar ôl lleihau'r ffracsiynau, rydym yn cael:
Felly, AC' = C'B, hy pwynt VS' yn rhannu'r ochr AB yn ei hanner.
Felly, yn ein triongl, y segmentau AA', BB' и CC' yn ganolrifau. Ar ôl datrys y broblem, rydym wedi profi eu bod yn croestorri ar un pwynt (yn ddilys ar gyfer unrhyw driongl).
Nodyn: gan ddefnyddio theorem Ceva, gellir profi bod yr haneryddion neu'r uchderau yn croestorri mewn triongl ar un adeg.