Yn y cyhoeddiad hwn, byddwn yn ystyried un o brif ddamcaniaethau geometreg Ewclidaidd - theorem Stewart, a gafodd enw o'r fath er anrhydedd i'r mathemategydd Saesneg M. Stewart, a brofodd hynny. Byddwn hefyd yn dadansoddi'n fanwl enghraifft o ddatrys y broblem i atgyfnerthu'r deunydd a gyflwynir.
Datganiad o'r theorem
Dan triongl ABC. Wrth ei ochr AC pwynt wedi'i gymryd D, sydd wedi'i gysylltu â'r brig B. Rydym yn derbyn y nodiant canlynol:
- AB = a
- BC = b
- BD = t
- AD = x
- DC = a
Ar gyfer y triongl hwn, mae'r cydraddoldeb yn wir:
Cymhwyso'r theorem
O theorem Stewart, gellir cael fformiwlâu ar gyfer dod o hyd i ganolrifau a haneryddion triongl:
1. Hyd y hanerwr
Gadewch lc yw'r hannerydd yn cael ei dynnu i'r ochr c, sy'n cael ei rannu'n segmentau x и y. Gadewch i ni gymryd dwy ochr arall y triongl fel a и b… yn yr achos hwn:
2. Hyd canolrif
Gadewch mc yw'r canolrif wedi'i droi i lawr i'r ochr c. Gadewch i ni ddynodi dwy ochr arall y triongl fel a и b… Yna:
Enghraifft o broblem
Triongl a roddwyd ABC. Ar yr ochr AC hafal i 9 cm, pwynt wedi'i gymryd D, sy'n rhannu'r ochr fel bod AD ddwywaith cyhyd DC. Hyd y segment sy'n cysylltu'r fertig B a phwynt D, yn 5 cm. Yn yr achos hwn, y triongl a ffurfiwyd ABD yn isosgeles. Darganfyddwch yr ochrau sy'n weddill o'r triongl ABC.
Ateb
Gadewch i ni ddarlunio amodau'r broblem ar ffurf llun.
AC = AD + DC = 9cm. AD hirach DC dwywaith, h.y AD = 2DC.
O ganlyniad, mae'r 2DC + DC = 3DC u9d XNUMX cm. Felly, DC = 3 cm, AD = 6cm.
Oherwydd triongl ABD – isosgeles, ac ochr AD yw 6 cm, felly maen nhw'n gyfartal AB и BDIe AB = 5cm.
Mae'n parhau i fod yn unig i ddod o hyd BC, sy'n deillio'r fformiwla o theorem Stewart:
Rydym yn amnewid y gwerthoedd hysbys i'r ymadrodd hwn:
Fel hyn, BC = √52 ≈ 7,21 cm.