Codi rhif cymhlyg i bŵer naturiol

Yn y cyhoeddiad hwn, byddwn yn ystyried sut y gellir codi rhif cymhlyg i bŵer (gan gynnwys defnyddio fformiwla De Moivre). I gyd-fynd â'r deunydd damcaniaethol mae enghreifftiau ar gyfer gwell dealltwriaeth.

Codi rhif cymhlyg i bŵer

Yn gyntaf, cofiwch fod gan rif cymhlyg y ffurf gyffredinol: z = a + bi (ffurf algebraidd).

Nawr gallwn symud ymlaen yn uniongyrchol i ddatrys y broblem.

Rhif sgwâr

Gallwn gynrychioli'r radd fel cynnyrch o'r un ffactorau, ac yna dod o hyd i'w cynnyrch (wrth gofio hynny i² = -1).

z² = (a + bi)² = (a + bi)(a + bi)

Enghraifft 1:

z=3+5i

z² = (3 + 5i)² = (3 + 5i)(3 + 5i) = 9+15i+15i+25i² = -16+30i

Gallwch hefyd ddefnyddio, sef sgwâr y swm:

z² = (a + bi)² = a² + 2 ⋅ a ⋅ bi + (bi)² = a² + 2abi – b²

Nodyn: Yn yr un modd, os oes angen, gellir cael fformiwlâu ar gyfer sgwâr y gwahaniaeth, ciwb y swm / gwahaniaeth, ac ati.

Nfed gradd

Codwch rif cymhlyg z mewn nwyddau n llawer haws os caiff ei gynrychioli ar ffurf trigonometrig.

Dwyn i gof, yn gyffredinol, fod nodiant rhif yn edrych fel hyn: z = |z| ⋅ (cos φ + i ⋅ sin φ).

Ar gyfer esboniad, gallwch chi ddefnyddio Fformiwla De Moivre (a enwyd felly ar ôl y mathemategydd Saesneg Abraham de Moivre):

zⁿ = | z |ⁿ ⋅ (cos(nφ) + i ⋅ sin(nφ)))

Ceir y fformiwla trwy ysgrifennu ar ffurf trigonometrig (mae'r modiwlau'n cael eu lluosi, ac mae'r dadleuon yn cael eu hychwanegu).

2 Enghraifft

Codwch rif cymhlyg z = 2 ⋅ (cos 35° + i ⋅ sin 35°) i'r wythfed gradd.

Ateb

z⁸ = 2⁸ ⋅ (cos(8 ⋅ 35°) + i ⋅ pechod (8 ⋅ 35°))) = 256 ⋅ (cos 280° + i sin 280°).