Echdynnu gwraidd rhif cymhlyg

Yn y cyhoeddiad hwn, byddwn yn edrych ar sut y gallwch chi gymryd gwraidd rhif cymhlyg, a hefyd sut y gall hyn helpu i ddatrys hafaliadau cwadratig y mae eu gwahaniaethwr yn llai na sero.

Echdynnu gwraidd rhif cymhlyg

Ail isradd

Fel y gwyddom, mae'n amhosibl cymryd gwraidd rhif real negyddol. Ond pan ddaw i rifau cymhleth, gellir cyflawni'r weithred hon. Gadewch i ni chyfrif i maes.

Gadewch i ni ddweud bod gennym ni rif z = -9. Ar gyfer √-9 mae dau wreiddyn:

z₁ = √-9 = -3i

z₁ = √-9 = 3i

Gadewch inni wirio'r canlyniadau a gafwyd trwy ddatrys yr hafaliad z² = -9, heb anghofio hynny i² = -1:

(-3i)² = (-3)² ⋅ i² = 9 ⋅ (-1) = -9

(3i)² = 3² ⋅ i² = 9 ⋅ (-1) = -9

Felly, rydym wedi profi hynny -3i и 3i yn wreiddiau √-9.

Mae gwraidd rhif negyddol fel arfer yn cael ei ysgrifennu fel hyn:

√-1 = ±i

√-4 = ±2i

√-9 = ±3i

√16- = ±4i ac ati

Gwraidd i rym n

Tybiwch ein bod yn cael hafaliadau o'r ffurf z = ⁿ√w… mae wedi n gwreiddiau (z₀, O₁, O₂, …, z_n-1), y gellir ei gyfrifo gan ddefnyddio'r fformiwla isod:

|w| yw modiwl rhif cymhlyg w;

φ – ei ddadl

k yn baramedr sy'n cymryd y gwerthoedd: k = {0, 1, 2,…, n-1}.

Hafaliadau cwadratig gyda gwreiddiau cymhleth

Mae echdynnu gwraidd rhif negyddol yn newid y syniad arferol o uXNUMXbuXNUMXb. Os yw'r gwahaniaethwr (D) yn llai na sero, yna ni all fod gwreiddiau real, ond gellir eu cynrychioli fel rhifau cymhlyg.

enghraifft

Gadewch i ni ddatrys yr hafaliad x² – 8x + 20 = 0.

Ateb

a = 1, b = -8, c = 20

D = b² – 4ac = 64 – 80 = -16

D <0, ond gallwn ddal i gymryd gwraidd y gwahaniaethydd negyddol:

√D = √16- = ±4i

Nawr gallwn gyfrifo'r gwreiddiau:

x_1,2 = (-b ± √D)/2a = (8 ± 4i)/2 = 4±2i.

Felly, yr hafaliad x² – 8x + 20 = 0 mae ganddo ddau wreiddyn cyfun cymhleth:

x₁ = 4 + 2i

x₂ = 4 – 2i